بیژن بینایی GitHub
بیژن بینایی Rss

ترکیبیات، دوست قدیمی

نوشته شده توسط بیژن | در دسته ریاضی | نوشته شده در ۲۵-۱۱-۱۳۹۲

۰

0521006015.01.S001.LXXXXXXXاین ترم طبق برنامه ریزی آموزش ما باید کلی واحد ریاضی بخونیم (البته بد هم نیست)
که یکی از اون ها درس شیرین آماره (که بهتره بگیم ترکیبیات تا اینجا)

کتاب مخصوص ما کتاب degroot هست که واقعا  محشره و کلی ایده های  زیبای می تونید توش یاد بگیرید (به گفته دکتر کبریایی (استاد آمارمون) توی mit از رو این کتاب آمار درس می دهند)

گذشته از تمام خوبی هاش من توی این کتاب به مثالی برخوردم که یک هفته ذهن من رو به خودش مشغول کرده بود

بنابراین می خواهم اینجا هم سوال رو مطرح کنم که اگر شما هم به ترکیبیات علاقه دارید روش فکر کنید

پیش نیاز: قضیه ای در آمار وجود داره که می گه اگر بتوان فضای نمونه ای را به n مجموعه افراز کرد و هر یک را با $$B_i$$ نمایش داد احتمال رخ دادن پیش آمد A را می توان به فرم زیر هم محاسبه کرد

$$P(A) = \sum\limits_{i=1}^k P(B_i) P\left(A \left\vert B_i \right. \right)$$

در اینجا یک شکل گذاشتم که می تونه در بهتر درک کردن قضیه کمک کنه. اگر اثباتش رو خواستید تو کتاب فصل دوم می تونید پیداش کنید

بریم سر سوال

سوال:یک تاس عجیب داریم که ۵۰ تا عدد روش نوشته شده تاس را دو بار پرتاب می کنیم با فرض هم شانس بودن دو  پرتاب انجام می دهیم سپس به ما گفته می شود عدد ظاهر شده در پرتاب دوم بزرگتر مساوی عدد اول است مطلوب است احتمال آن که عدد دوم 50 باشد

روش اول (روش کتاب)

$$B_i$$ را تعریف می کنیم پیشامدی که تاس اول عدد i آمده باشد

طبق قضیه قبل$$P(A)$$ را بسط می دهیم از طرفی داریم

$$P\left(A \left\vert B_i \right. \right) = P\left(Y=50 \left\vert B_i \right. \right)= \Large \frac{1}{51-i}$$

$$P(A) = \sum\limits_{i=1}^{50} P(B_i) P\left(A \left\vert B_i \right. \right) = \sum\limits_{i=1}^{50} \Large \frac{1}{50} \times \frac{1}{51-i} = 0.09$$

 

در حقیقت احتمال رخ دادن $$B_i$$ برابر $$\frac{1}{50}$$ است که آن را فاکتور گرفیتم بقیشو یکم فکر کنید می فهمید

که جواب بدست اومده 0.09

روش دوم

نقاط صحیح و مثبت را در یک دستگاه دو بعدی در نظر بگیرید هر نقطه در این شبکه دارای یک x و y هست که x آن متناظر با عدد ظاهر شده در مرتبه اول و y عدد ظاهر شده در مرتبه دوم است

اگر به نقاط بالاتر از خط y = x دقت کنید می بینید که شرط  بزرگتر بودن عدد دوم نسبت به عدد اول را برقرار می کنند و خط y=50  دقیقا حالت مطلوب است

حالا با استفاده از احتمال شرطی جواب به شکل زیر محاسبه می شود

$$\LARGE\frac{50}{\frac{50\times51}{2}}=\frac{2}{51}=0.039$$

سوال اصلی اینه :چرا دو جواب متفاوتند؟

پاسخ:

دو جواب متفاوت نیستند بلکه هر کدام یک مسئله متفاوتی را حل کردند.

به عبارت دیگر در روش دوم ما فرض هم شانس بودن در دو پرتاب تاس را در نظر نگرفتیم (چرا؟) بنابراین پاسخ روش دوم به کلی غلط است