بیژن بینایی GitHub
بیژن بینایی Rss

داستان یگانگی

نوشته شده توسط بیژن | در دسته الکترومغناطیس | نوشته شده در ۱۹-۰۹-۱۳۹۳

۱

HWmathematics های شاه آبادی توی دانشگاه معروفه و آخریش برای من واقعا جنجالی. کار رو با طرح یک سوال شروع می کنیم. فرض کنید یک کره رسانا به شعاع a داریم این کره بدون بار اولیه هست و به جایی هم متصل نیست. توی این کره حفره ای به شعاع b ایجاد می کنیم و یک بار به اندازه q داخل حفره قرار می دهیم و می دونیم که فاصله این بار تا مرکز کره برابر d هست. میدان را در خارج کره  بدست آورید(شکل سوال)

قبل از رفتن به ادامه مطلب رو سوال خوب فکر کنید و مطمئن بشید تمام تلاشتون رو کردید

اگر سوال رو با یک نگاه حل کردید که می تونید تا قسمت قضیه یگانگی بپرید اگه نه سعی کنید توضیح دهید چگالی سطحی بار ها در سطح خارجی کره رسانا چگونه است.

دوباره همین جا وایسید و سعی کنید خودتون به جواب برسین(حتی اگه لازم شده مثل من ساعت ها روش فکر کنید...)

پاسخ را می تونید توی wikipadia توی آزمایش سطل یخ (ice pail) جناب فاراده بیابید. این آزمایش در حقیقت مقدمه کشف قفس فاراده بوده. خب حالا گام به گام داستان رو شرح می دم

روش ما برای حل مسایل رسانا چی بود؟

ما سعی می کردیم یک توزیع بار برای سطح رسانا حدس بزنیم که میدان رو درون رسانا صفر کنه بعد رسانا رو بر می داشتیم و جاش خلا می گذاشتیم و با خیال راحت میدان رو در کل فضا بدست می آوردیم.

اما اینجا نمی شه به راحتی یک  ps(بخوانید رو اس) حدس زد. خب پس چیکار کنیم. جواب اینه که اصلا نیازی نیست ps ای حدس زده بشه (البته برای سطح داخلی). ما گفتیم ps برای سطح خارجی چیست و جواب یک توزیع کنواخت  هست اما چرا؟

دلیل یکنواخت شدن ps مستقل از توزیع بار داخل حفرخ هست (کار قفس فاراده چی بود). بیایید یک بار دیگه به مسئله نگاه کنیم ما می دونیم که میدان داخل رسانا صفر هست. برای اینکه این شرط برقرار شود فقط بار های r<b باعث ارضا شدن این شرط می شوند. پس بار های که روی سطح خارجی القا می شوند فقط باید از نظر اندازه مخالف بارهای القا شده به سطح داخلی باشند و به غیر از این دیگه شرطی ندارند که محدودشون کنه پس برای اینکه به بیشنرین پایداری برسند به طور یکنواخت رو سطح رسانا پخش می شوند. دلیلی که ذکر شد فقط جهت شهود بهتر بود و برای پاسخ به مسئله باید این شهود را به اثبات رساند.

برای اثبات این داستان ها از روش تصاویر (Method of Image) استفاده می کنیم.شرایط مرزی مسئله رو می نویسیم

در r=b اختلاف پتانسیل برابر یک مقدار ثابت مثل v0 هست همینطور روی مرز، میدان تنها مولفه عمودی دارد به عبارت دیگر n x E = 0. فضای حل a<r هست و توی فضای حل بار آزادی وجود نداره(به عبارت دیگر V یک تابع همساز هست).خب حالا اگه بیاییم یک بار در مبدا بگذارم که بتونه پتانسیل رو در مرز تامین کنه (چون مرز تقارن کروی داره یک تک بار کافی هست) مسئله حله چون تمام شرایطی که مسئله ما داشته برقرار شده پس به راحتی میدان در میاد.

فقط تنها مسئله ای که اینجا باقی می مونه اینه که آیا این شروطی که من گفتم برای توصیف مسئله ما کافی بود؟ به عبارت دیگر آیا جواب مسئله ای که ما بدست آوردیم یگانه است یا نه؟

پاسخ این سوال مثبته بیایید با هم ببینیم چرا

کار رو با برهان خلف شروع می کنیم فکر کنید دو تابع پتانسیل وجود داره که هر دو تا توی شرایط مسئله ما صدق می کنند به عبارت دیگه

\large {{~~~~~~\nabla^2 \phi_{1}} = 0~~~~~~~~~{\nabla^2 \phi_{2}} = 0 ~~~~~~~~~\phi_{1}=\phi_{2}} { \bigg\vert_{ \partial{v}}}~~~~~~~~~\nabla\phi_{1}=\nabla\phi_{2} { \bigg\vert_{ \partial{v}}}

سپس تعریف می کنیم

\large {~~~~~~\phi \overset{\Delta}{=} \phi_{2} - \phi_{1}}

اما چون لاپلاس و گرادیان خطی هستند

\large {{~~~~~~\nabla^2 \phi} = 0~~~~~~~~~~~~~~~~~~\phi=0} { \bigg\vert_{ \partial{v}}}~~~~~~~~~~~~~~~~~~\nabla\phi=0 { \bigg\vert_{ \partial{v}}}

بعد از قضیه دیورژانس کمک می گیریم و می نویسم

\large ~~~~~~\oint_{\partial{v}} {(\phi\nabla\phi) .} ds = \int_{v} {\nabla . (\phi\nabla\phi)} dv = \int_{v} {[\phi\nabla^2\phi+\nabla\phi.\nabla\phi]} dv

چون \large {{~~~~~~\nabla^2 \phi} = 0}

\large ~~~~~~\oint_{\partial{v}} {(\phi\nabla\phi) .} ds = \int_{v} {|\nabla\phi|^2} dv

با توجه به شرایط مرزی واضح است که

\large ~~~~~~\oint_{\partial{v}} {(\phi\nabla\phi) .} ds = 0

پس یعنی \large \nabla\phi = 0 که نتیجه می ده \large \phi = c به عبارت دیگه \large \phi_{1} = \phi_{2} + c که با در نظر گرفتن شرایط مرزی c = 0 می شود

تنها سوالی که ممکنه مطرح بشه اینه که چرا ما ادعا کردیم وقتی \phi روی مرز مشخص باشه E روی مرز یگانه بدست می یاد؟

برای اثبات این قضیه دوباره از برهان خلف استفاده می کنیم.فرض کنید دو تا E  مختلف روی مرز وجود داشته باشند به طوری که

\large {{~~~~~~\vec{E_1}} = \vec{\nabla}\phi_1 ~~~~ \vec{E_2} = \vec{\nabla}\phi_2}

از طرفی میدان بر سطح هادی عمود هست بنابراین میدان های E1 و E2 روی مرز هم جهت هستند یعنی

\large {{~~~~~~\vec{E_1}} = k\vec{E_2}}

به سادگی با استفاده از شرایط مرزی ثابت می شه که k باید برابر ۱ باشه و اثبات تکمیل می شه

سوالی بود درخدمتم

نظرات (۱)

Kheyli Aali , Estefade Kardam va Mamnoon .